کار در کلاس ۱ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
۱. برای بررسی کدام یک از موارد زیر به اندازهٔ $\mathbf{بزرگتری}$ نیاز است؟ توضیح دهید.
$\square$ سن دانش‌آموزان در کلاسی که در آن درس می‌خوانید.
$\square$ معدل سال گذشته دانش‌آموزان در کلاسی که در آن درس می‌خوانید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
این سؤال به مفهوم **واریانس (پراکندگی)** و تأثیر آن بر **اندازهٔ نمونه** در آمار می‌پردازد. هرچه پراکندگی داده‌ها (تفاوت بین اعضا) بیشتر باشد، برای تخمین میانگین جامعه به نمونهٔ بزرگتری نیاز داریم.
### مقایسه پراکندگی (واریانس):
1. **سن دانش‌آموزان در کلاس:** در یک کلاس دبیرستان (مثلاً دوازدهم)، سن دانش‌آموزان تقریباً **بسیار نزدیک** به هم است (مثلاً ۱۷ یا ۱۸ سال). **پراکندگی (واریانس) داده‌های سن، بسیار کم است.**
2. **معدل سال گذشته دانش‌آموزان در کلاس:** معدل دانش‌آموزان معمولاً تفاوت‌های قابل توجهی دارد (از معدل‌های بالا تا معدل‌های پایین). **پراکندگی (واریانس) داده‌های معدل، زیاد است.**
### نتیجه‌گیری:
برای بررسی **معدل سال گذشته دانش‌آموزان** به اندازهٔ نمونهٔ بزرگتری نیاز است.
**توضیح:** از آنجایی که **تفاوت و پراکندگی** در معدل دانش‌آموزان نسبت به تفاوت سن آن‌ها (در یک کلاس) **بسیار بیشتر** است، برای اینکه نمونهٔ انتخابی بتواند میانگین معدل واقعی کلاس را به خوبی نشان دهد، باید تعداد بیشتری دانش‌آموز را در نمونه بیاوریم. **هرچه داده‌ها همگن‌تر باشند (پراکندگی کمتر)، به نمونهٔ کوچک‌تری نیاز داریم.**
کار در کلاس ۲ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
۲. علی و امید در یک پروژه دانش‌آموزی می‌خواهند بررسی کنند که «نوجوانان منطقه ۲ آبادان در اوقات فراغت خود به چه فعالیت‌هایی مشغول‌اند و برای هر فعالیت چقدر وقت صرف می‌کنند.»
**علی پیشنهاد می‌کند:** «برای نمونه‌گیری به چند مکان تفریحی، فرهنگی، مذهبی و ورزشی برویم و در هر مکان چند نوجوان را به طور تصادفی انتخاب کنیم و از آن‌ها بپرسیم به طور متوسط چند ساعت در هفته به این مکان می‌آیند.»
**امید پیشنهاد می‌کند:** «اگر اداره آموزش و پرورش منطقه موافقت کند، برای نمونه‌گیری فهرستی از دانش‌آموزان متوسطه اول و دوم منطقه ۲ آبادان تهیه کنیم. بعد، با اندازهٔ نمونه کافی افرادی را به طور تصادفی انتخاب کنیم و از هر دانش‌آموز بپرسیم در اوقات فراغت خود چه فعالیت‌هایی انجام می‌دهد و به صورت متوسط چند ساعت در هفته به این فعالیت‌ها مشغول است.»
**موارد زیر اشکالاتی است که در پیشنهادهای امید و علی وجود دارد. در هر مورد، بنویسید که اشکال مربوط به پیشنهاد علی است یا به پیشنهاد امید.**
الف) کسانی که اوقات فراغتشان را در خانه می‌گذرانند، شانس حضور در نمونه را ندارند.
ب) نوجوانان بازمانده از تحصیل، شانس حضور در نمونه را ندارند.
پ) اگر مثلاً به کتابخانه برویم و از نوجوانان بپرسیم به طور متوسط چند ساعت در هفته به این مکان می‌آیند، میانگین داده‌های به دست آمده (آمارهٔ نمونه) بزرگتر از میانگین در جامعه آماری (پارامتر جامعه) می‌شود؛ چون نوجوانانی که اصلاً به کتابخانه نمی‌روند، در نظر گرفته نشده‌اند.
دو اشکال دیگر را که به نمونه‌گیری علی وارد است، مطرح کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
این تمرین مربوط به **خطاها و سوگیری‌ها در نمونه‌گیری** است. در این پروژه، **جامعه آماری** تمام نوجوانان منطقه ۲ آبادان هستند و هدف مطالعهٔ **همهٔ** فعالیت‌های اوقات فراغت آن‌هاست.
### ۱. تحلیل خطاهای نمونه‌گیری
| شرح اشکال | اشکال مربوط به پیشنهاد $\dots$ | دلیل |
|:---:|:---:|:---:|
| الف) کسانی که اوقات فراغتشان را در خانه می‌گذرانند، شانس حضور در نمونه را ندارند. | $\mathbf{علی}$ | علی فقط به مکان‌های تفریحی، فرهنگی، مذهبی و ورزشی می‌رود. نوجوانان «خانه‌نشین» به این ترتیب در نمونه او نماینده‌ای ندارند. |
| ب) نوجوانان بازمانده از تحصیل، شانس حضور در نمونه را ندارند. | $\mathbf{امید}$ | امید از طریق «اداره آموزش و پرورش» به لیست دانش‌آموزان دسترسی پیدا می‌کند. این لیست شامل کسانی که از تحصیل بازمانده‌اند یا ترک تحصیل کرده‌اند، نیست. |
| پ) اگر مثلاً به کتابخانه برویم و $ots$ میانگین داده‌های به دست آمده (آمارهٔ نمونه) بزرگتر از میانگین در جامعه آماری (پارامتر جامعه) می‌شود؛ چون نوجوانانی که اصلاً به کتابخانه نمی‌روند، در نظر گرفته نشده‌اند. | $\mathbf{علی}$ | این نوع نمونه‌گیری **سوگیری انتخاب** دارد. کسانی که به کتابخانه می‌آیند، بیشتر از متوسط جامعه به کتابخانه می‌آیند، بنابراین میانگین آن‌ها از میانگین کل جامعه **بیشتر** خواهد بود. |
### ۲. دو اشکال دیگر در نمونه‌گیری علی
1. **عدم تعریف دقیق جامعه آماری:** علی صرفاً به مکان‌های مختلف می‌رود. او کنترلی بر اینکه آیا نوجوانان واقعاً **ساکن منطقه ۲ آبادان** هستند یا نه، ندارد. ممکن است نوجوانانی از مناطق دیگر را نیز در نمونه خود قرار دهد.
2. **تعریف نادرست متغیر:** علی از نوجوانان می‌پرسد «به طور متوسط چند ساعت در هفته **به این مکان** می‌آیند؟» این پاسخ فقط مربوط به **آن مکان خاص** است و به سؤال اصلی پروژه که «به چه فعالیت‌هایی مشغولند؟» و «چقدر وقت صرف فعالیت‌های اوقات فراغت می‌کنند؟» به طور کامل پاسخ نمی‌دهد. او باید دربارهٔ کل فعالیت‌های فراغت (و نه فقط فعالیت در آن مکان) سؤال کند.
کار در کلاس ۳ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
۳. برای بررسی وضعیت اجتماعی – اقتصادی خانوارهای یک شهر در کدام یک از شیوه‌های نمونه‌گیری زیر، همهٔ قشرهای جامعه شانس حضور ندارند؟ چرا؟
الف) انتخاب تصادفی خانوارها بر اساس $\mathbf{رقم اول}$ تلفن خانه‌ها.
ب) انتخاب تصادفی خانوارها بر اساس $\mathbf{رقم آخر}$ تلفن خانه‌ها.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
این سؤال به بررسی شیوه‌های نمونه‌گیری و مفهوم **نمونه‌گیری تصادفی ساده (Simple Random Sampling)** می‌پردازد، که در آن **هر عضو جامعه باید شانس یکسان** برای حضور در نمونه داشته باشد.
### الف) انتخاب تصادفی بر اساس رقم اول تلفن:
* **وضعیت:** **همهٔ قشرهای جامعه شانس حضور ندارند.**
* **چرا؟** $athbf{رقم اول}$ یا چند رقم اول شماره تلفن در هر شهر یا منطقه، معمولاً نشان‌دهندهٔ **منطقهٔ جغرافیایی** یا **مخابراتی** است. برای مثال، شماره تلفن‌های یک منطقهٔ ثروتمندنشین ممکن است با $athbf{3}$ شروع شود و شماره‌های یک منطقهٔ فقیرنشین با $athbf{7}$. اگر نمونه‌گیری فقط بر اساس یک رقم اول خاص (مثلاً $athbf{3}$) انجام شود، خانوارهای سایر مناطق (مثلاً مناطق فقیرنشین) **حذف** می‌شوند و نمونه، نمایندهٔ کل جامعه (همهٔ قشرها) نیست. این منجر به **سوگیری سیستمی (Systematic Bias)** می‌شود.
### ب) انتخاب تصادفی بر اساس رقم آخر تلفن:
* **وضعیت:** **همهٔ قشرهای جامعه شانس حضور دارند.**
* **چرا؟** $athbf{رقم آخر}$ شماره تلفن به هیچ وجه به ویژگی‌های اجتماعی، اقتصادی، یا جغرافیایی خانوار **مرتبط نیست**. بنابراین، با انتخاب تصادفی بر اساس رقم آخر، ما به طور تصادفی از تمام مناطق و تمام قشرهای جامعه انتخاب می‌کنیم و شانس حضور همه یکسان است. این روش به **نمونه‌گیری تصادفی ساده** نزدیک‌تر است.
